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http://www.resolviendo.co/2013/02/actividad-1-identificacion-naturales.html
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http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3nhttp://www.buenastareas.com/ensayos/Problemas-De-Aplicacion-Ecuaciones/1371599.html
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http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/solucionlibro/unidad11.pdf
http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Funcion/Problemario_Funciones.pdf
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http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U03_L2_T2_text_final_es.html
http://www.uv.es/ceaces/molineal/modelo_lineal.htmhttp://www.monografias.com/trabajos59/limite-continuidad-funciones/limite-continuidad-funciones.shtml
sábado, 7 de junio de 2014
3. CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Las funciones polinómicas,
racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son
continuas en todos los puntos de su dominio.
La
función
es continua en
. En x = 3 no es continua porque
no está definida.
es continua en
. En x = 3 no es continua porque
no está definida.
Funciones definidas a trozos
Las funciones definidas
a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo
de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos,
por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.
La función
es continua en
es continua en
Porque las funciones que
la componen son polinómicas y los límites laterales en los puntos de división
coinciden.
Operaciones con funciones continuas
Si f y g son continuas
en x = a, entonces:
f + g
es continua en x = a.
f · g
es continua en x = a.
f / g
es continua en x = a, si g(a) ≠ 0.
f ο g
es continua en x = a.
Si alguna de las tres condiciones continuidad de no se cumple, la función es discontinua en
un punto.
La función es discontinua porque en
x = 2 no existe imagen.
3.1 EJERCICIOS DESARROLLADOS
- Estudiar la continuidad de las siguientes funciones
a. 
La función es continua en todos los puntos de su dominio.
D = R− {−2,2}
La función tiene dos puntos de discontinuidad en x = −2 y x = 2.
b. 
La función es continua en toda R menos en los valores que se anula el denominador, si igualamos éste a cero y resolvemos la ecuación obtendremos los puntos de discontinuidad.
x = −3; y resolviendo la ecuación de 2º grado obtenemos también: x=2−√3 y x=2+√3
La función tiene tres puntos de discontinuidad en x=−3, x=2−√3 y x=2+√3
c. 
La función es continua en toda 
d. 
La función es discontinua inevitable de salto 2 en x = 0.
e. 
En x = 1 hay una discontinuidad de salto finito.
3.2 EJERCICIOS PROPUESTOS
- Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.
- Dada la función
- Estudiar la continuidad de la función:
3.3 EJERCICIOS DE APLICACION
- Demostrar
que f(x) no es continua en x = 5.
- ¿Existe
una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x ≠ 5? En
caso afirmativo dar su expresión.
2. LIMITES AL INFINITO
Una función f(x) tiene por
límite +∞ cuando x → a, si fijado un número real positivo K > 0 se verifica que f(x)
> k para todos los
valores próximos a a.
Límite
menos infinito
Una función f(x) tiene por
límite -∞ cuando
si fijado un número
real negativo K
< 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.
si fijado un número
real negativo K
< 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.
Límite cuando x tiende a infinito
Límite cuando x tiende a menos infinito
Ejemplos
2.1 EJERCICIOS DESARROLLADOS
- Calcular el límite de
2.2
EJERCICIOS PROPUESTOS
- Observa la gráfica de esta función f(x) y calcular estos límites.
- Calcular los siguientes límites
1. CALCULO LIMITES
Si f(x) es una función usual (polinómicas,
racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el
punto a, entonces se suele cumplir que:
Es
decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que
tienden las x.
No podemos calcular
porque
el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar
valores que se acerquen a −2.
porque
el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar
valores que se acerquen a −2.
Sin embargo sí podemos
calcular
, porque
aunque 3 no pertenezca al dominio,
, sí podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.
, porque
aunque 3 no pertenezca al dominio,
, sí podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.
Cálculo
del límite en una función definida a trozos
En primer lugar tenemos que
estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.
Si coinciden, este es el valor
del límite.
Si no coinciden, el límite no existe.
En x = −1, los límites laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como en
ambos casos coinciden, el límite existe y vale 1.
En x = 1, los límites laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como no
coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.
Para calcular el límite de una función
cuando x → ∞ se sustituyen las x por ∞.
El límite
cuando x → ∞ de una función polinómica es +∞ o −∞ según que el término de mayor
grado sea positivo o negativo.
Ejemplos
Límite de la inversa de un polinomio en el infinito
Si P(x) es un polinomio, entonces:
Ejemplo
Cálculo de límites cuando x → −∞
Ejemplos
No existe el límite, porque el radicando toma
valores negativos.
1.1 EJERCICIOS DESARROLLADOS
- calcular los siguientes límites:
d. 
En los puntos x =
-1 y x =1
En los puntos x =
-1 y x =1
En x = -1, los límites
laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.
En x = 1, los límites
laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.
e. 
- Hallar los
siguientes límites
Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite
cuando
1.2 EJERCICIOS PROPUESTOS
- Calcular, por comparación de infinitos, los siguientes límites:
- Calcular los
límites:
- Hallar los
límites:
1.3 EJERCICIOS DE APLICACIÓN
- La cantidad de una droga
en la corriente sanguínea t horas después de inyectada intramuscularmente está
dada por la función
Al pasar el tiempo, ¿cuál es la cantidad
límite de droga en sangre?
Al pasar el tiempo, ¿cuál es la cantidad
límite de droga en sangre?
- En un experimento
biológico, la población de una colonia de bacterias (en millones) después de x
días está dada por
a.
¿Cuál es la población
inicial de la colonia?
b.
Resolviendo
, se obtiene información acerca de si la población
crece indefinidamente o tiende a estabilizarse en algún valor fijo. Determine
cuál de estas situaciones ocurre.
, se obtiene información acerca de si la población
crece indefinidamente o tiende a estabilizarse en algún valor fijo. Determine
cuál de estas situaciones ocurre.
- La Federación de caza de
cierto estado introduce 50 ciervos en una determinada región. Se cree que el
número de ciervos crecerá siguiendo el modelo:
, donde t es el tiempo en años.
, donde t es el tiempo en años.
a.
Calcule el número de
animales que habrá luego de 5 y 10 años.
b.
¿A qué valor tenderá la
población cuando t tiende a infinito?
- Un cultivo de bacterias
crece siguiendo la ley
donde el tiempo t ³ 0 se mide en
horas y el peso del cultivo en gramos.
donde el tiempo t ³ 0 se mide en
horas y el peso del cultivo en gramos.
a.
Determine el peso del
cultivo transcurridos 60 minutos.
b.
¿Cuál será el peso del
mismo cuando el número de horas crece indefinidamente?
- En una academia de
mecanografía, el número medio de palabras N por minuto escritas luego de t
semanas de lecciones prácticas, está dado por.
a.
Calcule el número medio
de palabras por minuto que puede escribir una persona luego de haber recibido
lecciones durante 10 semanas.
b.
Determine el número
medio de palabras por minuto que pueden escribirse cuando la cantidad semanas
crece indefinidamente.
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