5. FUNCION EXPONENCIAL

Seaun número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potenciase llama función exponencial de base a y exponente x. Comopara todo,la función exponencial es una función de. En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial.  
 
Teorema (Leyes de los Exponentes)  

Sean a y b reales positivos y x,y, entonces

Cuando a > 1 ,si x < y, entonces,.Es decir, cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial  de base a es estrictamente creciente en su dominio.  Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces,. Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en su dominio.

b. .Si 0< a < b ,se tiene: 

Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases. 

Cualquiera que sea el número real positivo,existe un único número realtal que. Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva.  Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema

 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema

2. Para el caso general, es decir, cuando x e y son reales, la demostración utiliza elementos del análisis real. 
 

Gráfica de la Función Exponencial 

En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos comentarios adicionales. 

En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2).

Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial(fig.1) no está acotada superiormente. Es decir ,crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es ,tiende a cero(0), cuando x toma valores grandes pero negativos. 

Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial(fig.2) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así,crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos ytiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos. 

El hecho de ser la función exponencialcon a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio.Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa ( función logarítmica), que se presentan en la próxima sección. 

En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial inyectiva. 

Observación. 

Cuando a = e ,donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284….,la función exponencial,se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por Exp( x ) = .

5.1 EJERCICIOS DESARROLLADOS

- Simplifique totalmente la  siguiente expresión: 

Solución 

- Pruebe que

Solución

Simplifique inicialmente el numerador y el denominador de la fracción .Así: 

También,

En consecuencia

5.2 EJERCICIOS PROPUESTOS

-  Simplifique Totalmente: 

- Si  f(x) =, demuestre que:

5.3 EJERCICIOS DE APLICACION 

- Un cultivo de bacterias, con un número inicial de 1000 bacterias, dobla su tamaño cada hora. Encuentra una fórmula para el número N(t) de bacterias presentes después de t horas. Cuantas bacterias estarán presentes después de 8 horas.

- Supongamos que una cantidad de azúcar se coloca en agua, y que el 10% se disuelve cada minito. Sea Q(t) la cantidad de azúcar presente después de t minitos. Si inicialmente hay 5 kilos de azúcar, es decir, Q(0) = 5, encuentre aproximadamente cuanta azúcar estará presente después de 15 minutos.

- La población proyectada P de una ciudad esta dada por P=100,000e0.05t, donde t es el número de años después de 1990. Predecir la población para el año 2010.Hay un límite máximo sobre la población de peces en un cierto lago debido a la cantidad de oxigeno, alimentación, etc. proporcionadas. La población de peces en este lago en el tiempo t, en meses está dado por la función

¿Cuál es el límite máximo de la población de peces?