1. CALCULO LIMITES

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcularporque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a −2.

Sin embargo sí podemos calcular, porque aunque 3 no pertenezca al dominio,, sí podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

Cálculo del límite en una función definida a trozos

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.

Si no coinciden, el límite no existe.

En x = −1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como en ambos casos coinciden, el límite existe y vale 1.

En x = 1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.

Para calcular el límite de una función cuando x → ∞ se sustituyen las x por ∞.

El límite cuando x → ∞ de una función polinómica es +∞ o −∞ según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.

Ejemplos

Límite de la inversa de un polinomio en el infinito

Si P(x) es un polinomio, entonces:

Ejemplo 

Cálculo de límites cuando x → −∞

Ejemplos 

No existe el límite, porque el radicando toma valores negativos.

1.1 EJERCICIOS DESARROLLADOS 

- calcular los siguientes límites:

 

d.  En los puntos x = -1 y x =1

En x = -1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.

En x = 1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.

e.   

-  Hallar los siguientes límites

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite cuando

1.2 EJERCICIOS PROPUESTOS 

- Calcular, por comparación de infinitos, los siguientes límites:

- Calcular los límites:

- Hallar los límites:

1.3  EJERCICIOS DE APLICACIÓN

- La cantidad de una droga en la corriente sanguínea t horas después de inyectada intramuscularmente está dada por la funciónAl pasar el tiempo, ¿cuál es la cantidad límite de droga en sangre?

- En un experimento biológico, la población de una colonia de bacterias (en millones) después de x días está dada por

a.    ¿Cuál es la población inicial de la colonia?

b.    Resolviendo, se obtiene información acerca de si la población crece indefinidamente o tiende a estabilizarse en algún valor fijo. Determine cuál de estas situaciones ocurre.

        - La Federación de caza de cierto estado introduce 50 ciervos en una determinada región. Se cree que el número de ciervos crecerá siguiendo el modelo:, donde t es el tiempo en años.

a.    Calcule el número de animales que habrá luego de 5 y 10 años.

b.    ¿A qué valor tenderá la población cuando t tiende a infinito?

         -   Un cultivo de bacterias crece siguiendo la leydonde el tiempo t ³ 0 se mide en horas y el peso del cultivo en gramos.

a.    Determine el peso del cultivo transcurridos 60 minutos.

b.    ¿Cuál será el peso del mismo cuando el número de horas crece indefinidamente?

     - En una academia de mecanografía, el número medio de palabras N por minuto escritas luego de t semanas de lecciones prácticas, está dado por.

a.    Calcule el número medio de palabras por minuto que puede escribir una persona luego de haber recibido lecciones durante 10 semanas.

b.    Determine el número medio de palabras por minuto que pueden escribirse cuando la cantidad semanas crece indefinidamente.