Las funciones polinómicas,
racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son
continuas en todos los puntos de su dominio.
La
función
es continua en
. En x = 3 no es continua porque
no está definida.
es continua en
. En x = 3 no es continua porque
no está definida.
Funciones definidas a trozos
Las funciones definidas
a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo
de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos,
por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.
La función
es continua en
es continua en
Porque las funciones que
la componen son polinómicas y los límites laterales en los puntos de división
coinciden.
Operaciones con funciones continuas
Si f y g son continuas
en x = a, entonces:
f + g
es continua en x = a.
f · g
es continua en x = a.
f / g
es continua en x = a, si g(a) ≠ 0.
f ο g
es continua en x = a.
Si alguna de las tres condiciones continuidad de no se cumple, la función es discontinua en
un punto.
La función es discontinua porque en
x = 2 no existe imagen.
3.1 EJERCICIOS DESARROLLADOS
- Estudiar la continuidad de las siguientes funciones
a. 
La función es continua en todos los puntos de su dominio.
D = R− {−2,2}
La función tiene dos puntos de discontinuidad en x = −2 y x = 2.
b. 
La función es continua en toda R menos en los valores que se anula el denominador, si igualamos éste a cero y resolvemos la ecuación obtendremos los puntos de discontinuidad.
x = −3; y resolviendo la ecuación de 2º grado obtenemos también: x=2−√3 y x=2+√3
La función tiene tres puntos de discontinuidad en x=−3, x=2−√3 y x=2+√3
c. 
La función es continua en toda 
d. 
La función es discontinua inevitable de salto 2 en x = 0.
e. 
En x = 1 hay una discontinuidad de salto finito.
3.2 EJERCICIOS PROPUESTOS
- Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.
- Dada la función
- Estudiar la continuidad de la función:
3.3 EJERCICIOS DE APLICACION
- Demostrar
que f(x) no es continua en x = 5.
- ¿Existe
una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x ≠ 5? En
caso afirmativo dar su expresión.
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