6. FUNCION LOGARITMICA

Sea a un real positivo fijo,y sea x cualquier real positivo, entonces:La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base,  denotada por,se llama: función logarítmica de base a, y, el númerose llama logaritmo de x en la base a. 

La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que :el logaritmo de un número, en una base dada ,es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. 

En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los logaritmos. 

Teorema ( Propiedades de los logarítmos )

Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces : 

Cuando a > 1 , si 0 < x < y , entonces,.Es decir ,la función logarítmica de base a > 1 es estrictamente creciente en su dominio.

Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y ,entonces,.Esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio. 

Para todo número real, existe un único número realtal que. Esta propiedad indica que la función logarítmica es sobreyectiva . 

Si, y, a != 0 , entonces,. (Invarianza)
 

Demostración.

Para demostrar las propiedades de los logaritmos, se hace uso de la definición y de las propiedades de la función exponencial, presentadas en la sección anterior. 

A manera de ilustración , se demuestran las propiedades 1,4 y 7. Se dejan las restantes como ejercicio para el lector. 
 

Sea.De acuerdo a la definición de logaritmo y de la propiedad 9 del teorema 3 ,se tiene :. Esto es ,(1)  En segundo lugar , nuevamente por la definición , . 0 Es decir ,( 2 ). De ( 1 ) y ( 2 ), se concluye que. Seay, entonces :(1).( 2 ). De ( 1 ) y ( 2 ), se sigue que :. Es decir ,. 

Se supone que a > 1 y 0< x < y. Sean :.Se prueba que . En efecto ,si,y como a > 1 ,se tendría por la propiedad 7 del teorema 3 que, es decir ,en contradicción con la hipótesis.  Análogamente, se razona para el caso 0 < a < 1. 

Observaciones.

1.     La igualdad, dada en la propiedad 1, es también válida para b < 0 . 

2.    Las propiedades 7 y 8 de los logaritmos, conjuntamente con las propiedades 7 y 8 de los exponentes, ponen de manifiesto el comportamiento similar que presentan las funciones exponenciales y logarítmicas en una misma base .Es decir, si una de ellas es continua y creciente ( continua y decreciente ) , la otra también lo es. 

3.    La base más frecuentemente utilizada para las funciones exponenciales y logarítmicas es el llamado número e (número de EULER ).Los logaritmos de base e son llamados logaritmos Naturales o Neperianos y se denotan por Ln .Sin embargo ,los que más a menudo se encuentran tabulados y que se utilizan en la practica son los  correspondientes a la base 10 ,los cuales son llamados logaritmos decimales o vulgares y se denotan por o,   simplemente, Log x.

 Gráfica de La Función Logarítmica

En las figura 1 aparecen las gráficas de las funciones e, en concordancia con las propiedades establecidas en el teorema inmediatamente anterior. 

En la figura 2, se han trazado conjuntamente las curvase.Allí pueden visualizarse los comentarios hechos en la observación ii). Puede notarse, además, que las curvas son simétricas con respecto a la recta y = x. 

6.1 EJERCICIOS DESARROLLADOS 

- Pruebe que si a > 0 ,,entonces,

Solución

Suponga que(1). Esto significa, de acuerdo a la definición, que
(2). 
De (2), se deduce que. Pero ,(3). 

De (1) y (3), se concluye que :

- Sea a > 0 , x > 0 y, además ,.Determine el valor de x. 

Solución

Si, entonces,. Tomando logaritmo en base a, en ambos miembros de la última igualdad ,se obtiene 



Despejandoy simplificando, se obtiene : 


En consecuencia ,. 

6.2 EJERCICIOS PROPUESTOS 

-  Use las propiedades de los logaritmos para demostrar las siguientes identidades



- Resuelva la Siguientes Ecuaciones Logarítmicas.