4. FUNCION CUADRATICA

Decimos que una función es cuadrática si se puede expresar de la forma f(x)= ax2+bx+c donde a,b y c son constantes y a # 0 La gráfica de una función cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los números reales. Si a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a<0, la parábola es negativa y abre hacia abajo

A continuación se muestran tres funciones cuadráticas con sus respectivas gráficas y una lista de algunas de las parejas ordenadas que pertenecen a dichas funciones cuadráticas. f(x)= x²- 5x + 4 f(x)= - x²- 5x + 4 f(x)= - 2x²- 5x + 4

Gráfica de las funciones cuadráticas

Primer caso

Cuando a=1 ; b=0 ; c=0:   entonces:             y = x²

Para construir la gráfica, realicemos una tabla de doble entrada, igual al proceso que realizamos para graficar cualquier función:

x	1	2	0	-1	-2
y	1	4	0	1	4

Utilizando el programa Geogebra realicemos el gráfico:

Esta curva que caracteriza a las funciones de segundo grado, se llama parábola.

Segundo caso

Cuando a = 1 ; b = 0 ; c ≠ 0 

Por ejemplo a = 1 ; b = 0 ; c = 2  entonces la función tiene la forma:

y = x² + 2

X	0	1	2	-1	-2
Y	2	3	6	3	6

Tercer caso

Cuando a=1 ; b≠0 ; c =0

Por ejemplo a=1; b=2 ; c=0 entonces la función tiene la forma:

y = x² + 2x

      

X	0	1	2	-1	-2
Y	0	3	8	-1	0

 

       

Cuarto caso   

Cuando a≠0 ; b≠0 ; c≠0

Por ejemplo a= 1 ; b =2 ; c= -3 entonces la función toma la forma:

y = x² + 2x - 3

    

X	0	1	2	3	-1	-2	-3	-4
Y	-3	0	5	12	-4	-3	0	5

 

Un resultado importante

Resumiendo la influencia de los parámetros "a" ; "b" ; "c"

Dada la parábola y = ax² + bx + c, entonces:

Coeficiente a:

Si  a > 0, las ramas van hacia arriba.

Si a < 0, las ramas van hacia abajo

Si a > 1,  o a < -1, las ramas se cierran.

Si 0 < a < 1 o  0  > a  >-1, las ramas se abren.

Coeficiente c:

El coeficiente c indica donde la parábola corta al eje y. Nos indica cuantas unidades sube o baja la parábola matriz Y = a x²  

Coeficiente b:

Si b=0 la parábola es simétrica respecto al eje y.

Si  a > 0 y b > 0 la parabola es asimétrica corriendose a la

izquierda.

Si a>0 y b< 0 la parabola es asimétrica corriendose a la derecha.

Si a<0 y b> 0 la parábola es asimétrica corriendose a la derecha.

Si a<0 y b<0 la parábola es asimétrica corriendose a la izquierda

4.1 EJERCICIOS DESARROLLADOS

- Representa gráficamente la función cuadrática:

4.2 EJERCICIOS PROPUESTOS

- Partiendo de la gráfica de la función f(x) = x², representa:

a.    1y = x² + 2

b.    2y = x² − 2

- Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas:

a.    1y = (x − 1)² + 1

b.    2y = 3(x − 1)² + 1

c.    3y = 2(x + 1)² - 3

 - Indica, sin graficar, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas:

a.    1y = x² − 5x + 3

b.    2y = 2x² − 5x + 4

4.3 EJERCICIOS DE APLICACION

- Una granjera tiene 1000 pies de cerca y un campo muy grande. Pone una cerca formando un área rectangular con dimensiones x pies y 500 – x pies. ¿Cuál es el área del rectángulo más grande que puede ella crear?

a.    62,500 pies²

b.    250,000 pies²

c.    1,000 pies²

d.     500 pies²

- Bob hizo un edredón que mide 4 pies x 5 pies.  Él tiene 10 pies cuadrados de tela para crear un borde alrededor del edredón. ¿Qué tan ancho debe hacer el borde para usar toda la tela? (El borde debe tener el mismo ancho en los cuatro lados.)

- Se te da la siguiente información de precio y cantidad. Escribe una ecuación que represente la ganancia anual P para un precio s. El costo de producción por artículo es de $30.

Precio de Ventas	Cantidad vendida Q
100	7000
200	6000
500	3000
600	2000
800	0