4. FACTORIZACION

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.

La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores. Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos, escribiremosEn el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide que lo factoricemos; entonces tendremos .

CASO I. FACTOR COMUN

Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrón.

      

Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que:. Cuando factorizamos.

Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común,.Aquí tenemos como hacerlo:

Máximo factor común (MFC).- El término, es el MFC de un polinomio sí:

1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y
2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.

CASO IV. DIFERENCIA  DE  CUADRADOS

Aquí tenemos un producto notable podemos utilizar esta relación para factorizar una diferencia de cuadrados. 

CASO VI. TRINOMIO DE LA FORMA x² + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

EJEMPLO

CASO VII. TRINOMIO DE LA  FORMA ax² + bx + c

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = ax² + bx + c, se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x₁ y x₂, el polinomio descompuesto será:

ax² + bx + c = a · (x − x₁) · (x − x₂)

CASO VIII. CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

El número de monomios que la conforma son cuatro (4). La raiz del primer y cuarto monomio tienen que ser raíces cúbicas perfectas. Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios. El segundo y tercer término tienen que cumplir el triángulo de Pascal. El primer término siempre debe ser positivo. 

PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:

Organizar los monomios de mayor a menor exponente. Sacar la raíz cúbica al primer y cuarto término.  Multiplicar la raíz del primero elevada al cuadrado por la ráiz del cuarto y ésto por tres. Verificar que dé igual al segundo término de la expresión.  Multiplicar la raíz del cuarto elevada al cuadrado por la ráiz del primero y ésto por tres. Verificar que dé igual al tercer término de la expresión. Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de las raíces del primer y cuarto términos (de acuerdo al signo del segundo monomio), y todo elevado a la tres. Verificar que la expresión obtenida da el ejercicio que se quiere desarrollar.

EJEMPLO:

FACTORIZAR: 125 x12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512y15

SOLUCIÓN:

125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512 y15 = (5 x 4 +8 y5 )3

raíces cúbicas: 5 x 4 8 y5

(5 x4)2 . (8 y5) 3 . (5 x4) . (8 y5)2

= 600 x8 y5 =960 x4 y10

CUADRADO DE UN BINOMIO

El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primer número, más el doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo.

Consideremos que. Tendremos que. Por tanto 

Es decir

4.1 EJERCICIOS DESARROLLADOS 

-  Factorizar

- Descomponer en factores y hallar las raíces

4.2 EJERCICIOS PROPUESTOS

-Factoriza completamente los siguientes polinomios:

a.    a²b - ab² =

b.    6p²q + 24pq² =

c.    12x³y - 48x²y² =

d.     9m²n + 18 mn² - 27mn=

e.    x² - 8x + 16 =

f.     16y² + 24y + 9 =

g.    36a² - 12a + 1 =

h.    4x² + 20xy + 25y² =

i.      16x² - 25y² =

j.      144 - x²y² =

k.     36 - 25a² =

l.      25 - 4a² =

m.   16m²n² - 9p² =

n.     x² - 4x + 3 =

o.    x² - 2x - 15 =

p.     x² - 7xy - 18y² =

q.    12 - 4x - x² =

r.     5x² - 11x + 2 =

s.    3x³ + 12x² – 2x – 8 =

t.      3x³ + 2x² + 12x + 8 =

u.    x³ – 27 =

v.    125x³ + y³ =

w.   8y³ + z³ =

x.    64 – y³ = 

4.3 EJERCICIOS DE APLICACION 

- Demostrar que si el cuadrado de la suma dos números es igual a la suma de los cuadrados de dichos números, alguno de estos números es cero.

Indentificamos el primer número con la variable x,y el segundo número con la variable y. Así pues, según el enunciado, debemos imponer:

(x+y)2=x2+y2

Según las identidades notables, desarrollamos el primer factor:

(x+y)2=x2+2xy+y2=x2+y2

Ahora podemos simplificar los cuadrados, y nos queda el término 2xy=0. Esto se cumplirá si alguno de los valores es cero. Así pues, x=0 ó y=0